Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x1 ， x2∈（0，+∞），当x1≠x2时有 ＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx， ． ∵f′（1）=0，f（1）=﹣2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣2；
（Ⅱ）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时， ，（x＞0）．
令f′（x）=0，即 ．
∴ 或 ．
当 ，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；
当 时，f（x）在[1，e]上的最小值是 ，不合题意；
当 时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．
综上，a≥1；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，
由题意可知只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而 ．
当a=0时， ，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，
对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴 ，
只需△=a2﹣8a≤0，
即0＜a≤8．
综上0≤a≤8．
【解析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后求出f′（1），同时求出f（1），由点斜式写出切线方程；（Ⅱ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，进一步求出导函数的零点 ， ，分 ≤1，1＜ ＜e及 三种情况讨论原函数的单调性，由f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2求解a的取值范围；（Ⅲ）构造辅助函数g（x）=f（x）+2x，问题转化为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求解a的范围．把函数g（x）求导后分a=0和a≠0讨论，a≠0时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．