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已知函数
(Ⅰ)求函数g(x)的极大值.
(Ⅱ)求证:存在x∈(1,+∞),使
(Ⅲ)对于函数f(x)与h(x)定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的分界线.试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,即可求函数g(x)的极大值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,构造新函数,利用零点存在定理,即可证得结论;
(Ⅲ)构造新函数,求导数,确定函数的单调性,可得函数f(x)与h(x)的图象在处有公共点(),设f(x)与h(x)存在“分界线”且方程为,构造函数,确定函数的单调性,即可求得结论.
解答:(Ⅰ)解:.…(1分)
令g′(x)>0,解得0<x<1;令g′(x)<0,解得x>1.…(2分)
∴函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减.…(3分)
所以g(x)的极大值为g(1)=-2.…(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
,∴,…(5分)
取x′=e>1,则=.…(6分)
故存在x∈(1,e),使φ(x)=0,即存在x∈(1,+∞),使.…(7分)
(说明:x′的取法不唯一,只要满足x′>1,且φ(x′)<0即可)
(Ⅲ)解:设,则
则当时,F′(x)<0,函数F(x)单调递减;当时,F′(x)>0,函数F(x)单调递增.
是函数F(x)的极小值点,也是最小值点,

∴函数f(x)与h(x)的图象在处有公共点().…(9分)
设f(x)与h(x)存在“分界线”且方程为
令函数
①由h(x)≥u(x),得在x∈R上恒成立,
在x∈R上恒成立,


,故.…(11分)
②下面说明:f(x)≤u(x),
恒成立.


∵当时,V′(x)>0,函数V(x)单调递增,
时,V′(x)<0,函数V(x)单调递减,
∴当时,V(x)取得最大值0,V(x)≤V(x)max=0.
成立.…(13分)
综合①②知,且
故函数f(x)与h(x)存在“分界线”
此时.…(14分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,难度较大.
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