Question

已知函数f（x）=loga(x2-ax+5)（a＞0，且a≠1），
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）对任意x∈（0，+∞）有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2[(x-1)2+4]，可得当x=1时，函数f（x）取得最小值．
（2）根据题意以及函数y=x²-ax+5的对称轴为x=

a

2

，可得 (

a

2

)2-a•

a

2

+5＞0，再结合a＞0，且a≠1，解得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，∵函数f（x）=loga(x2-ax+5)=log2(x2-2x+5)=log2[(x-1)2+4]，
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值为log₂4=2．
（2）∵函数f（x）=loga(x2-ax+5)在（0，+∞）有意义，函数y=x²-ax+5的对称轴为x=

a

2

，
∴(

a

2

)2-a•

a

2

+5＞0，再结合a＞0，且a≠1，解得 0＜a＜1，或 1＜a＜2

5

，
即实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2

5

）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．