Question

已知f（x）=e^x+

3

4

cosx，g（x）=

1

4

x，若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使f（x₁）=g（x₂）成立，则x₂-x₁的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由已知可得x2-x1=4ex1+3cosx1-x1，令h(x1)=4ex1+3cosx1-x1，问题转化为求函数h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值，求导数可判函数单调递增，易得结论．

解答： 解：∵存在x₁，x₂∈[0，+∞）使f（x₁）=g（x₂）成立，
∴ex1+

3

4

cosx1=

1

4

x2，∴x2=4ex1+3cosx1，
∴x2-x1=4ex1+3cosx1-x1，
令h(x1)=4ex1+3cosx1-x1，
原问题转化为求函数h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值．
∵h′(x)=4ex1-3sinx1-1，x₁≥0，
∴4ex1≥4，3sinx₁+1≤4，∴h′（x₁）≥0，
∴h（x₁）在x₁∈[0，+∞）是单调增函数，
∴h（x₁）≥h（0）=7
∴h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值是7．
故答案为：7

点评：本题考查三角函数的最值，将最小值问题转化为函数的最值问题是解决问题的关键，属中档题．