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已知圆C:.

(1)直线过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若,求直线的方程;

(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量,求动点的轨迹方程.

(3) 若点R(1,0),在(2)的条件下,求的最小值.

(1) 所求直线为3x-4y+5=0或x=1  (2) 点的轨迹方程是  () (3)


解析:

(1)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为与圆的两个交点坐标为

,其距离为,满足题意                        ………1分

②若直线不垂直于轴,设其方程为,即 ………2分

设圆心到此直线的距离为,则,得,………4分

故所求直线方程为3x-4y+5=0   

综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0)

   ∵,∴  即    ………7分

又∵,∴                     …………9分

由已知,直线m //oy轴,所以,,

点的轨迹方程是  ()                ………………10分

(3)设Q坐标为(x,y),, ………………11分

  ()可得:

.         ………………13分

         …………14分

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(本题满分12分)

已知圆C:. (1)写出圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得的弦为AB,且以AB为直径的圆过原点.若存在,求出直线m的方程; 若不存在,说明理由.

 

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