Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱C₁D₁的中点，则异面直线A₁B、EC的夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 取A₁B₁中点F，则BF∥EC，∠A₁BF是异面直线A₁B、EC的夹角，由此能求出异面直线A₁B、EC的夹角的余弦值．

解答 解：取A₁B₁中点F，则BF∥EC，
∴∠A₁BF是异面直线A₁B、EC的夹角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁F=1，A₁B=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴cos∠A₁BF=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{F}^{2}-{A}_{1}{F}^{2}}{2{A}_{1}B•BF}$=$\frac{8+5-1}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．