Question

【题目】已知函数f（x）．

（1）当a≤e时，求证：当x＝1时函数f（x）取得极小值：

（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）a＞6e

【解析】

（1）由题可得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．①当a≤0时，对任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，易得函数f（x）在x＝1处取得极小值，②当0≤a≤e时，令g（x）＝ex﹣ax，令g′（x）＝0，得x＝lna，

再论证当1＜a≤e，0＜a≤1时，都有ex﹣ax≥0恒成立即可．

（2）由（1）知当a≤e时，当x＝1时函数f（x）取得极小值，所以f（x）最多有2个零点；当a≥0时，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所以f（x）最多有2个零点；当a＜0时，设g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又，由零点存在定理，存在使得g（x0）＝0，是 f（x）的极大值点，所以f（x）最多有3个零点；所以要使得f（x）有4个零点，则a＞e，根据（1）知，g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0，由零点存在定理，则存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，所以f'（x）＝0有3个零点x1，1，x2，要有4个零点，则即可.

（1）由题可得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．

①当a≤0时，对任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，

所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．

所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意．

②当0≤a≤e时，设g（x）＝ex﹣ax，依然取x∈（0，+∞）．

则g′（x）＝ex﹣a，令g′（x）＝0，得x＝lna，

当1＜a≤e时，lna＞0，所以g（x）在（0，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增，

所以g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）．

因为1＜a≤e，所以g（x）min＝a（1﹣lna）≥0．当且仅当a＝e时，等号成立，此时x＝1，

所以对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），都有ex﹣ax≥0恒成立．

当0＜a≤1时，由x∈（0，+∞）时ex＞1得g′（x）＝ex﹣a≥0，

所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．

所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意．

综上①②可知：当a≤e时x＝1是函数f（x）的极小值点．

（2）由（1）得当a≤e时，f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）单调增；

在x≤0时，x﹣1＜0，

当a≥0时，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所以f（x）最多有2个零点；

当a＜0时，设g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又，

所以存在使得g（x0）＝0，则

在（﹣∞，x0）上g（x）＜0，f'（x）＞0，f（x）单调增，

在（x0，0]上，g（x）＞0，f'（x）＜0，f（x）单调减，

所以f（x）最多有3个零点；

所以要使得有4个零点，a＞e，

由（1）得g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，

又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0

（证明：h（a）＝a﹣2lna（a＞2），则，

所以h（a）在（2，+∞）单调增，所以在（e，+∞）上h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以a＞2lna，即ea＞a2，

所以存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，

又当x≤0时，g（x）＞0，所以f'（x）＝0有3个零点x1，1，x2，

当x＜x1，或1＜x＜x2，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞x2，或x1＜x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

所以要有4个零点，，即a＞6e，

此时，f（0）＝﹣2＜0，，

设m（a）＝a﹣3lna（a＞3），，

所以在（6e，+∞）上m（a）＞m（6e）＞m（e2）＝e2﹣6＞0，

所以a＞3lna，即ea＞a3，

又，

综上，当且仅当a＞6e时，函数f（x）有4个零点．