Question

【题目】如图，已知抛物线和⊙：，过抛物线C上一点（）做两条直线与⊙相切于两点，分别交抛物线于两点.

（1）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（2）若直线在轴上的截距为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）﹣11

【解析】

（1）根据当的角平分线垂直轴时，可得点的坐标，因而，设，由两点间斜率公式及抛物线方程代入化简可得，从而可求直线的斜率；

（2）设，由点斜式求出直线、的方程，根据直线性质从而可得直线的方程，令，可得，再利用导函数，即可求得的最小值.

（1）抛物线和⊙：，则，

∵当的角平分线垂直轴时，可知点，

且满足，设，

∴由两点间斜率公式可得，

∴代入抛物线方程可知，即，

∴.

∴.

（2）设，，抛物线和⊙：，则，

∴由圆切线性质可知，

∴直线的方程为，

同理可得直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，

令，可得，（），

∵，

∴关于的函数在上单调递增，

∴当时，.