Question

【题目】设函数f（x）=e2x ， g（x）=kx+1（k∈R）． （Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；
（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x ， ∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2tx+（1﹣2t）e2t ，
由已知y=2e2tx+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，
∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，
令h（x）=（1﹣x）ex ， 则h′（x）=﹣xex ，
当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（0）=1，
当且仅当x=0时等号成立，
∴t=0，k=2，
（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：
存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），
则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，
即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，
设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x ， t′（x）=k﹣2﹣2e2x ，
由t′（x）＞0，得：x＜ ln ，由t′（x）＜0，得：x＞ ln ，
若2＜k≤4， ln ≤0，∵（0，x0）（ ln ，+∞），
∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，
∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，
若k＞4， ln ＞0，（0， ln ）（﹣∞， ln ），
∴t（x）在（0， ln ）上单调递增，
∵t（0）=0，∴对任意x∈（0， ln ），t（x）＞0，符合题意，
此时取0＜m≤min{x0 ， ln }，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，
②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），
f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，
∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，
设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），
由φ′（x）＞0，得x＞ ln ＞0，φ′（x）＜0得x＜ ln ，
∴φ（x）在（0， ln ）上单调递减，注意到φ（0）=0，
∴对任意x∈（0， ln ），φ（x）＜0，不符合题设，
综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．
【解析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）ex ， 根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．