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【题目】已知 是平面内凸三十五边形的35个顶点,且中任何两点之间的距离不小于 . 证明:从这35个点中可以选出五个点,使得这五个点中任意两点之间的距离不小于3.

【答案】见解析

【解析】

先证明一个引理

引理 设 35个点中的任意一点.则在余下的34个点中,至多六个点与点的距离小于3.

证明 用反证法.

如图,假设有7个点(不妨设为)与点的距离小于3.

由题设知.

这六个角中至少有一个角不大于(不妨设).

.则.

根据对称性不妨设.

由于,因此,

在区间)上为增函数.

.

从而,与条件矛盾.

回到原题.

根据引理,从点出发的34条线段中至多有6条线段的长度小于3,即至少有28条线段的长度不小于3.不妨设线段的长度不小于3.

再考虑从点出发的27条线段.同理,至少有21条线段的长度不小于3.不妨设线段的长度不小于3.

再考虑从点出发的20条线段.同理,至少有14条线段的长度不小于3.不妨设线段的长度不小于3.

再考虑从点出发的13条线段.同理,至少有7条线段的长度不小于3.不妨设线段的长度不小于3.

这样得到五个点 ,其中任意两点之间的距离不小于3.

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1)请完成列联表;并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;

分数不少于

分数不足

合计

线上学习时间不少于小时

线上学习时间不足小时

合计

2)在上述样本中从分数不足于分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于小时和线上学习时间不足小时的学生共名,若在这名学生中随机抽取人,求这人每周线上学习时间都不足小时的概率.(临界值表仅供参考)

(参考公式,其中

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1)求的值;

2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?

文科生

理科生

合计

获奖

6

不获奖

合计

400

3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.

附:,其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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