Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为偶函数；若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；
（3）设h（x）=f（x）-x²+m，若函数y=log_mh（x）在区间[-2，4]上单调递增，求实数m的取值范围；
（4）设函数h（x）=log₂[n-f（x）]，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．

Answer 1

分析：（1）根据条件建立方程关系，即可求a、c的值；
（2）求出g（x）的表达式，利用函数的奇偶性进行判断即可；
（3）求出h（x）=f（x）-x²+m的表达式，利用函数y=log_mh（x）在区间[-2，4]上单调递增，即可求实数m的取值范围；
（4）根据函数零点的定义，结合二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答：解：（1）∵f（1）=5=a+2+c，
∴c=3-a  ①
又∵6＜f（2）＜11，
∴6＜4a+4+c＜11，②
将①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，
∴a=1，c=2．     
（2）由（1）得f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴g（x）=f（x+b）=（x+b+1）²+1，
假设存在实数b使g（x）为偶函数，
则有g（-x）=g（x），
即（-x+b+1）²+1=（x+b+1）²+1，可得b=-1．
故存在实数b=-1使g（x）为偶函数．
（3）依题意有h（x）=2x+2+m，
∴h（x）在区间[-2，4]上单调递增，
若函数y=log_mh（x）在区间[-2，4]上单调递增，则m＞1且h（x）＞0在区间[-2，4]上恒成立，
∴

m＞1 h(x)min＞0

，
即

m＞1 -4+2+m＞0

，
解得m＞2；
故实数m的取值范围是（2，+∞）．
（4）方法1∵函数h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，即n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值为1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即x²+2x+3-n=0，（*）
∵△=4-4（3-n）=4n-8，
∴当n＞2时，方程（*）有2个不同的实数根；
当n=2时，方程（*）有1个实数根；
当n＜2时，方程（*）没有实数根．
综上，当n＞2时，函数h（x）在定义域范围内有2个零点；
当n=2时，函数h（x）在定义域范围内有1个零点；
当1＜n＜2时，函数h（x）在定义域范围内没有零点．
方法2∵函数h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值为1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即n=f（x）+1=x²+2x+3=（x+1）²+2
∴当n＞2时，直线y=n与抛物线y=（x+1）²有2个不同的交点；
当n=2时，直线y=n与抛物线y=（x+1）²有1个交点；
当n＜2时，直线y=n与抛物线y=（x+1）²没有交点．
综上，当n＞2时，函数h（x）在定义域范围内有2个零点；
当n=2时，函数h（x）在定义域范围内有1个零点；
当1＜n＜2时，函数h（x）在定义域范围内没有零点．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，以及函数零点的判断和应用，综合性较强，运算量较大．