Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，有，由于a_n＞0，所以a₁=1
当n=2时，有，即，将a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2
（Ⅱ）由得，a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²①
则有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1③
同样有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n，所以a_n+1-a_n=1（n≥2），
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
故a_n=n
分析：（Ⅰ）由，a_n＞0，知a₁=1.，即，由此能求出a₂=2．
（Ⅱ）由得，a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，故a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，由此得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，由此能够导出a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n，所以a_n+1-a_n=1（n≥2），所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出其通项公式．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．