Question

【题目】已知函数f（x）=kx，g（x）= ．
（1）求函数g（x）= 的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）= ，x＞0，故其定义域为（0，+∞），

∴ ，

令g′（x）＞0，得0＜x＜e，

令g′（x）＜0，得x＞e，

故函数 的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

（2）解：∵ ，∴k ，

令 ，

又 ，

令h′（x）=0，解得 ，

当x在（0，+∞）内变化时，h′（x），h（x）变化如下表

x
h′（x）	+	0	﹣
h（x）	↗		↘

由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为 ，

所以 ．

【解析】（1）由g（x）= ，知 ，由此能求出函数 的单调区间．（2）由 ，知k ，令 ，知 ，由此能求出实数k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．