Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，△SBC，△SDC为正三角形，E为侧棱SC上一点．
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC．

Answer 1

证明：（1）设AC与BD的交点为O，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，
又E为SC的中点，所以，OE为三角形SAC的中位线，所以SA∥OE，又OE?面BDE，
SA?面BDE，所以，SA∥平面BDE；
（2）连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O是BD的中点，所以BC=CD，
又，△SBC，△SDC为正三角形，所以，SB=BC=CD=SD，故SB=SD，所以BD⊥SO
又SO∩AC=O，SO，AO?平面SAC，所以BD⊥平面SAC，又BD?平面BDE，所以有：
平面BDE⊥平面SAC．
分析： 对于（1）要证明SA∥平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O．由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到
SA∥OE，得证；对于（2）由，△SBC，△SDC为正三角形，可以得到SDB为等腰三角形，O为底边BD中点，易得SO⊥BD，又由条件知道BD⊥AC，从而可以证明BD⊥平面SAC，从而得证．
点评：本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定，要注意期中的转化思想，即将线面平行转化为线线平行、将面面垂直转化为线面垂直问题解决．