Question

2．给出下列四个命题：
①f（x）=x³-3x²是增函数，无极值．
②f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上没有最大值
③若命题p：a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充分条件，命题q：f′（x₀）=0是“点x₀是可导函数f（x）的极值点”的必要条件，则￢p∧q为真．
④设z₁，z₂是复数，z₁²+z₂²=0?z₁=z₂=0
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①∵f（x）=x³-3x²，∴f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．
∴f（x）_极大值=f（0）=0，f（x）_极小值=f（2）=-4．
∴①不正确；
由①可得f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上有最大值0，不正确；
③复数z=a+b i（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0．a=0时，复数z=a+b i（a，b∈R）不一定为纯虚数．若复数z=a+b i（a，b∈R）为纯虚数，必有a=0．所以a=0是复数z=a+b i（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件；若函数y=f（x）在点x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0；反之不一定，例如取f（x）=x³，虽然f′（0）=0，但是函数f（x）在x=0处没有极值．因此f′（x₀）=0是可导函数y=f（x）在点x=x₀处有极值的必要非充分条件．∴￢p∧q为真，正确．
④若z₁，z₂∈C，且z₁²+z₂²=0，则z₁=z₂=0；z₁=i，z₂=-i，时满足题意，显然不正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，考查复数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．