Question

若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°．

Answer 1

分析：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，今设其对边为a，则三角形的三边分别为

a

q

，a，aq（此处q为公比，且q＞0）再由余弦定理可得此三角形为等边三角形，三个内角均为60°．

解答：证明：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，
今设其对边为a，则三角形的三边分别为

a

q

，a，aq（此处q为公比，且q＞0）
由余弦定理可得a2=(

a

q

)2+(aq)2-2•

a

q

•cos60°
1=

1

q2

+q2-2•

1

2

1

q2

-2+q2=0(

1

q

-q)2=0
，

1

q

=q，
∴q²=1q=1，q=-1（不合题意，舍去）
由q=1可知，此三角形为等边三角形，
三个内角均为60°．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．