Question

在数列{a_n}中a₁=1，当n≥2时，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比数列．
（1）证明：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求数列{

1

(1-2n)an

}前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

代入已知条件中，可得S_n与S_n-1的关系，
要证明数列{

1

Sn

}为等差数列，由定义只需证明

1

Sn

-

1

Sn-1

为常数d
（2）由（1）可求S_n及a_n，从而求出数列{

1

(1-2n)an

}的通项，，然后利用等差数列的和求出T_n

解答：解：（1）∵an，Sn，Sn-

1

2

成等比数列，
∴Sn2=an•(Sn-

1

2

)(n≥2)，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又∴{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列．（4分）
又（2）由（1）知

1

Sn

=2n-1，∴Sn=

1

2n-1

，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

2

(2n-1)(2n-3)

又∴an=

1(n=1) - 2 (2n-3)(2n-1) (n＞1)

又当n≥2时，

1

(1-2n)an

=

2n-3

2

又当n=1时，T_n=-1满足上式，∴Tn=-1+

(n-1)2

2

(n∈N*)（14分）

点评：等差数列与等比数列是高考中所考查的数列试题的基本类型，此试题主要考查利用等差数列的定义证明等差数列，还要注意构造特殊数列的方法；另外，由递推公式求通项的应用也是本题的一个重点，求解中要注意应用定义，灵活构造．