Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₃=91，等比数列{b_n}中首项b₁=3，公比q=2，且a₃是-42和b₅的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，=2ⁿ+（-1）ⁿn．利用等比数列的前n项和公式、“分组求和”即可得出．

解答 解：（I）∵等比数列{b_n}中首项b₁=3，公比q=2，∴${b}_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∴b₅=3×2⁴=48．
∵a₃是-42和b₅的等差中项．
∴2a₃=-42+b₅=-42+48，
解得a₃=3．
设等差数列{a_n}的公差为d，又S₁₃=91，
∴$\left\{\begin{array}{l}{13{a}_{1}+\frac{13×12}{2}d=91}\\{{a}_{1}+2d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，=2ⁿ+（-1）ⁿn．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=$\frac{2（{2}^{2n}-1）}{2-1}$+[（-1+2）+（-3+4）+…+（1-2n+2n）]
=2²ⁿ⁺¹-2+n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．