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已知A,B,C均在椭圆上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当时,有
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)根据判断出可知△AF1F2为直角三角形,进而可知进而根据.求得,进而根据椭圆的定义联立求得根据勾股定理建立等式求得a,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)根据题意通过E坐标求出F坐标,代入椭圆的方程,化简的表达式,利用P是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值.
解答:解:(Ⅰ)因为,所以有
所以△AF1F2为直角三角形;

则有
所以,


在△AF1F2中有
,解得a2=2
所求椭圆M方程为

(Ⅱ)由题意可知N(0,2),E,F关于点N对称,
设E(x,y),则F(-x,4-y)有
=x2-x2+4y-4y-y2+y2=x2+2y2-(x2+(y-2)2)-y2+4-4y=-(y+2)2+9
P是椭圆M上的任一点,y∈[-1,1],
所以当y=-1时,的最大值为8.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题,向量的基本计算.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
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