Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是 (为参数)，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知直线与曲线交于， 两点，与轴交于点，求.

Answer 1

【答案】（1）直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.

【解析】试题分析：(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.

试题解析：(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)，

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；

由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，

即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.

(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，

将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，

则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.