Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

．若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需要100元，用ξ表示维修一次的费用．
（1）求恰好有2个面需要维修的概率；
（2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出一个面不需要维修的概率，从而得到一个面需要维修的概率．由此能够求出六个面中恰好有2个面需要维修的概率．
（Ⅱ）由ξ～B(6，

1

2

)，知P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，由此能得到维修一次的费用ξ的分布和ξ的数学期望．

解答：解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因为一个面不需要维修的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)=

C 3 5 + C 4 5 + C 5 5

25

=

1

2

，所以一个面需要维修的概率为

1

2

．
因此，六个面中恰好有2个面需要维修的概率为P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

．
（Ⅱ）因为ξ～B(6，

1

2

)，又P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，
所以维修一次的费用ξ的分布为：

ξ	0	100	200	300	400	500	600
P	1 64	3 32	15 64	5 16	15 64	3 32	1 64

…（12分）
因为ξ～B(6，

1

2

)，所以Eξ=100×6×

1

2

=300元．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要注意二项分布的合理运用．