Question

若m∈R，命题p：设x₁和x₂是方程x²-ax-3=0的两个实根，不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-2，2]恒成立命题q：“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要条件．求使p且￢q为真命题的m的取值范围．

Answer 1

分析：由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

代入结合a得范围可求|x₁-x₂|的最大值，从而求出命题p对应的m得范围；再由“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要条件求出命题q对应的m得范围，最后结合复合命题的真值可求出使p且￢q为真命题的m的取值范围．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的两个实根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-3
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+12

∵a∈[-2，2]∴

a2+12

∈[2

3

，4]
∵不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-2，2]恒成立
∴m²-2m-4≥|x₁-x₂|_max在a∈[-2，2]成立即可
∴m²-2m-4≥4解得m≤-2或m≥4
∴p：m≤-2或m≥4
∵x²-x-2＞0∴x＜-1或x＞2
∵4x+m＜0∴x＜-

m

4

∵“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要条件
∴-

m

4

≤-1解得m＞4
∴q：m≥4
∵p且￢q为真命题
∴{m|m≤-2或m≥4}∩{m|m＜4}={m|m≤-2}

点评：本题主要考查了恒成立问题，以及复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题p，q为真时的m的取值范围，属于中档题．