Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ （0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0 ， y0）处切线的斜率k≤ 恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）
当x∈ 时，f'（x）＞0，当x∈ 时，f'（x）＜0
故函数f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
因此函数f（x）在 （0，+∞）上有极大值
∴lna=a﹣1，解得a=1
（Ⅱ） ，于是有 在（0，3]上恒成立，所以 ，当x0=1时， 取最大值 ，所以 ；
（Ⅲ）∵
①若 ，即 ，则当 时，有f'（x）≥0，∴函数f（x）在 上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．
②若 ，即 ，则函数f （x）在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ．
③若 ，即a≥e，则当 时，有f'（x）≤0，函数f （x）在 上单调递减，则 ．
综上得，当 时，f（x）max=1﹣ea+a；当 时，f（x）max=﹣lna﹣1+a；当a≥e时，
【解析】（Ⅰ）求f（x）的导数，讨论导数的正负，可得f（x）的单调区间，利用函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，即可求a的值；
（Ⅱ）切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′（x0）≤ 恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围，即得实数a的最小值．
（Ⅲ）分类讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．