Question

15．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+1，x＞0}\\{-1+{{log}_2}（-x），x＜0}\end{array}}$，若函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A． （0，4）
• B． （-4，0）
• C． $（0，\frac{15}{4}）$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+1，x＞0}\\{-1+{{log}_2}（-x），x＜0}\end{array}}$与y=a的图象，若x₁＜x₂＜x₃，可得x₂+x₃=4，-3＜-1+log₂（-x₁）＜1，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+1，x＞0}\\{-1+{{log}_2}（-x），x＜0}\end{array}}$与y=a的图象如下，

不妨设其三个交点的横坐标满足x₁＜x₂＜x₃，
易知x₂+x₃=4，-3＜-1+log₂（-x₁）＜1，
解得，$\frac{1}{4}$＜-x₁＜4，
故-4＜x₁＜-$\frac{1}{4}$，
故0＜x₁+x₂+x₃＜-$\frac{1}{4}$+4=$\frac{15}{4}$，
故选C．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．