Question

函数f（x）定义域为R，且对定义域内的一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，有f（x）＜0，且f（1）=-

1

2

，则f（x）在区间[-2，6]上的最大值与最小值之和为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法即可求f（0）的值，根据函数单调性的定义即可判断函数单调性，根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
设x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
则 y=x₁-x₂＞0，
∴f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x）在R上是减函数
∵f（x）+f（y）=f（x+y），f（1）=-

1

2

∴f（2）=2f（1）=-1，f（4）=2f（2）=-2，f（6）=f（2+4）=f（2）+f（4）=-1-2=-3，
∵f（0）=f（2）+f（-2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=1，
又∵f（x）在[-2，6]上是减函数，
∴最大值为f（-2）=1，最小值为f（6）=-3，
则1-3=-2．
故答案为：-2

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．