Question

【题目】已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，

求证：g(x)的极大值小于等于10．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 极小值为f (2)＝(Ⅱ)证明如下

【解析】

(Ⅰ)解：当a＝2时，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f (x)的极小值为f (2)＝．…………………………………6分

(Ⅱ) 解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，

所以，

即b＝－2(a＋1)．

又因为1＜a≤2，

所以g(x)极大值＝g(1)

＝4＋3b－6(b＋2)

＝－3b－8

＝6a－2

≤10．

故g(x)的极大值小于等于10．…………………………15分