Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：
①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；
②存在实数k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=f（n），数列{b_n}满足关系式，问数列{b_n}中是否存在不同的3项，使之成为等比数列？若存在，试写出任意符合条件的3项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函数有最小值0，二次函数的对称轴为直线x=1，求出b，c的值，即可求出函数y=f（x）的解析式
（2）根据Sn与an的关系 ，根据等比数列性质得出p、q、r的关系方程，研究方程的解的情况作出判断．
解答：解：（1）由①得，二次函数有最小值0，故（2分）
二次函数的对称轴为直线x=1，故，（4分）
即b=-2，c=1f（x）=x²-2x+1
（6分）
（2）S_n=n²-2n+1（n∈N^*）∴（2分）
∴（4分）
设数列的p、q、r（p＜q＜r）项使得b_p、b_q、b_r成等比数列．
（ⅰ）若p=1时，，
则b_q²=b₁•b_r∴∴
∴①②
由于②式左边为偶数，右边为奇数，显然q、r不存在．                  （3分）
（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N^*
则∴
∴⇒p+r=2q⇒（p+r-1）²=（2p-1）（2r-1）⇒（p-r）²=0
∴p=r产生矛盾                                                       （7分）
综上所述，这样的三项不存在．                                          （8分）
点评：本题考查二次函数的性质，等比数列的定义，考查分析解决问题、分类讨论、计算等能力．