Question

8．函数$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若${S_n}＜\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析 （I）先得到${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，然后两边取倒数，即可证明$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（II）在（I）的基础上，求出{a_n}的通项公式，从而得到b_n=a_na_n-1，然后再采用裂项求和的方法求和即可．再利用S_n的单调性求出S_n的最大值，让其最大值小于$\frac{m-2003}{2}$．解得求最小正整数m=2012．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵函数$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，
∴a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$，
即a_n=$\frac{3}{2n+1}$，
当n≥2时，b_n=a_n-1•a_n（n≥2）=$\frac{9}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
当n=1时，上式同样成立．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∴${S_n}＜\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N^*成立，即$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N^*成立，
又$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）随n递增，且$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2003}{2}$，∴m≥2012，
∴m_最小=2012．

点评 本题以函数为载体，考查构造法证明等差数列，考查裂项求和，考查恒成立问题，综合性强．