Question

规定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且

C

0 x

=1，这是组合数

C

m n

（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求

C

3 -15

的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①

C

m n

=

C

n-m n

；②

C

m n

+

C

m-1 n

=

C

m n+1

．是否都能推广到

C

m x

（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

，运算求得结果．
（2）根据

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)，再利用基本不等式求得狮子的最小值．
（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整数．
根据题中的规定化简运算可以证得．

解答：解：（1）由题意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

=-680．（4分）
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)．（6分）
∵x＞0，故有 x+

2

x

≥2

2

．
当且仅当x=

2

时，等号成立．∴当x=

2

时，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．（8分）
（3）性质①不能推广，例如当x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 -1 2

无意义； （10分）
性质②能推广，它的推广形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整数．（12分）
事实上，当m=1时，有

C

1 x

+

C

0 x

=x+1=

C

1 x+1

．
当m≥2时.

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m-2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

[

x-m+1

m

+1]=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m !

=

C

m x+1

．（14分）

点评：本题主要考查组合数的性质、二项式系数的性质，这是一道综合性较强的题目，对学生的逻辑思维能力、推理论证
能力以及计算能力，均有较好的考查．在课本基本题型（组合数的性质）的基础上有拓广创新，属于中档题．