Question

17．已知a∈$\left\{{x\left|{{{（{\frac{1}{3}}）}^x}-x=0}\right.}\right\}$，则$f（x）={log_a}^{（{{x^2}-2x-3}）}$的增区间为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 根据函数$y=（\frac{1}{3}）^{x}$和y=x的交点便可得出0＜a＜1，而可看出f（x）是由y=log_at和t=x²-2x-3复合而成的复合函数，而函数y=log_at为减函数，这样只要求函数t=x²-2x-3在f（x）定义域内的减区间便可得出f（x）的增区间．

解答 解：$y=（\frac{1}{3}）^{x}$和y=x的交点横坐标x满足0＜x＜1；
即方程$（\frac{1}{3}）^{x}-x=0$的解x满足0＜x＜1；
∴0＜a＜1；
令x²-2x-3=t，设y=f（x），则y=log_at为减函数；
解x²-2x-3＞0得，x＜-1，或x＞3；
∴函数t=x²-2x-3在（-∞，-1）∪（3，+∞）上的减区间便是函数f（x）的单调增区间；
∴f（x）的增区间为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评 考查函数交点坐标和对应的方程解的关系，对数函数的单调性，以及复合函数的定义，复合函数单调区间的求法，二次函数单调区间的求法．