Question

已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α

Answer 1

分析：证明直线与平面垂直，根据定义，需证明直线与平面内的任一直线垂直，故可利用平面向量基本定理，将平面内的任一向量用一组基底表示，证明当直线与基底垂直时，就垂直于平面内的任一向量，利用数量积运算即可得证

解答：解：设直线m的方向向量为

m

，直线n的方向向量为

n

，直线l的方向向量为

l

，
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴

m

与

n

是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为

a

，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使

a

=λ

m

+μ

n

又∵l⊥m，l⊥n，∴

l

•

m

=0，

l

•

n

=0
∴

l

•

a

=

l

•(λ

m

+μ

n

)=λ

l

•

m

+μ

l

•

n

=0
∴

l

⊥

a

∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：
l⊥α

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定定理及其证明方法，平面向量基本定理的应用，利用平面向量解决几何问题的方法