Question

已知：在函数的图象上，f（x）=mx³-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（I）求m，n的值；
（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），然后把切点N的横坐标代入f′（x）表示出直线的斜率等于tan

π

4

，得到关于m的方程，求出m的值，然后把N（1，n代入到f（x）即可得到n的值；
（II）要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，即要k≥f（x）_max+1993即要求出f（x）的最大值，方法是令f′（x）=0求出x的值，然后在[-1，3]区间上，利用x的值分三种情况讨论f′（x）的正负得到函数的单调区间，然后利用函数的增减性得到函数的最大值，列出关于k的不等式，求出解集即可得到满足题意k的最小的正整数解．

解答：解：（I）根据求导法则求出f（x）的导函数f′（x）=3mx²-1，
由f（x）=mx³-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．，
得f′(1)=tan

π

4

，即3m-1=1，m=

2

3

．
把（1，n）代入到f（x）中得：

2

3

-1=n，解得n=-

1

3

．
（II）令f'（x）=2x²-1=0，得x=±

2

2

．
当-1＜x＜-

2

2

时，f'（x）=2x²-1＞0；
当-

2

2

＜x＜

2

2

时，f'（x）=2x²-1＜0；
当

2

2

＜x＜3时，f'（x）=2x²-1＞0；
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(3)=15．
因此，当x∈[-1，3]时，-

2

3

≤f(x)≤15．
要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整数k=2008．使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，理解函数恒成立时所取的条件，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握直线倾斜角与斜率的关系．