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    【题目】数列满足，且.

    （1）求、、；

    （2）求数列的通项公式；

    （3）令，求数列的最大值与最小值.

    【答案】（1），，；（2）；（3）数列的最大值为，最小值为.

    【解析】

    （1）由题设条件，分别令、、可计算出、、的值；

    （2）令，由可得出，两式作差可得出，再利用等比数列的通项公式即可得出数列的通项公式；

    （3）先求出数列的通项公式，分和两种情况讨论，利用数列的单调性即可求出数列的最大值与最小值.

    （1）数列满足，且，

    当时，则有，解得；

    当时，则有，解得；

    当时，则有，解得；

    （2）当时，由可得出，

    两式相减得，，，且，

    所以，数列从第二项起成等比数列，又，所以；

    （3），

    当时，.

    当时，，此时，数列单调递减，且；

    当时，，此时，数列单调递减，且.

    ，因此，数列的最大值为，最小值为.

    练习册系列答案
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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

    【解析】

    （Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

    （Ⅱ）设，，

    当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

    当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

    （Ⅰ）设由题，

    解得，则，椭圆的方程为.

    （Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

    设，则，直线的方程为代入，

    可得 ，，则,

    直线的斜率为，直线的斜率为，

    ，

    当直线的斜率不存在时，同理可得.

    当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

    则由消去可得：，

    又，则，代入上述方程可得:

    ，，

    则 ，

    设直线的方程为，同理可得 ，

    直线的斜率为

    直线的斜率为， .

    所以，直线与的斜率之积为定值，即.

    【点睛】

    (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

    (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

    【题型】解答题
    【结束】
    21

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    （Ⅰ）求a，b；

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    【题目】已知数列中，，前项和为，且.

    （1）求，的值；

    （2）证明：数列是等差数列，并写出其通项公式；

    （3）设（），试问是否存在正整数，（其中，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）当点在椭圆的图像上运动时，点在曲线上运动，求曲线的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；

    （3）过椭圆上异于其顶点的任意一点作曲线的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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    【题目】

    已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

    （3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，

    且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

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