Question

已知圆的方程是：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
（Ⅱ）求恒与圆相切的直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）将方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0
整理得：x²+y²-4y+2+a（2x-2y）=0．
令

x2+y2-4y+2=0 x-y=0

解之得

x=1 y=1

，
∴定点为（1，1）．
（Ⅱ）圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为：

2

|a-1|
显然，满足题意切线一定存在斜率，
∴可设所求切线方程为：y=kx+b，即kx-y+b=0，
则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即

|ka+(a-2)+b|

1+k2

=

2

|a-1|恒成立，
即2（1+k²）a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（1+k）²a²+2（b-2）（k+1）a+（b-2）²恒成立，
比较系数得

2(1+k2)=(1+k)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

，
解之得k=1，b=0，所以所求的直线方程为y=x．