Question

已知数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S₂₀；
（3），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n}为等差数列，
设其公差为d…（1分）
又a₁=8，a₄=2，∴8+3d=2，∴a₁=8，d=-2
∴a_n=-2n+10 …（3分）
（2）∵a_n=-2n+10，∴n≤5时，a_n≥0；n≥6时，a_n＜0…（4分）
∴n≥6时，…（7分）
∴S₂₀=260…（8分）
（3）由（1）可得
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=…（10分）
由T_n为关于n的增函数，故，
于是欲使恒成立，则，∴m＜6
∴存在最大的整数m=5满足题意…（12分）
分析：（1）先判断{a_n}为等差数列，再求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据通项确定其正数项与负数项，从而可求S₂₀；
（3）利用裂项法求数列的和，求出最小值，即可求得结论．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确求和是关键．