Question

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a²+c²-b²=ac，c=2，点G满足|$\overrightarrow{BG}$|=$\frac{\sqrt{19}}{3}$且$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），则sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理可得B=60°，再由向量的平方即为模的平方和数量积的定义，解方程可得a=3，由余弦定理可得b，再由正弦定理计算即可得到所求值．

解答 解：a²+c²-b²=ac，
即为cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
由0°＜B＜180°，可得B=60°，
点G满足|$\overrightarrow{BG}$|=$\frac{\sqrt{19}}{3}$且$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
可得$\overrightarrow{BG}$²=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{9}$（c²+a²+2accosB）
=$\frac{1}{9}$×（4+a²+2a•2•$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{9}$，
解得a=3（-5舍去），
由a²+c²-b²=ac，可得b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}$=$\sqrt{9+4-6}$=$\sqrt{7}$，
由正弦定理可得，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，
可得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量的数量积的定义及性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．