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已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=
4
5
5
,动点P满足2
OP
=
OA
+
OB
(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆
x2
4
+y2=1
交于M、N两点,求证:
OM
ON
为定值.
分析:(1)(方法一)设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).由2
OP
=
OA
+
OB
,知P是线段AB的中点,由此能得到点P的轨迹C的方程.
(方法二)由2
OP
=
OA
+
OB
,知P为线段AB的中点,由M、N分别在直线y=x和y=-x上,知∠AOB=90°.由此能得到点P的轨迹C的方程.
(2)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与C相切,知
|m|
1+k2
=
2
5
5
m2=
4
5
(1+k2)
.联立
y=kx+m
x2+4y2=4
,故
(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0
(1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0
.由此能够证明
OM
ON
为定值0.
解答:解:(1)(方法一)设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).
2
OP
=
OA
+
OB
,∴P是线段AB的中点,∴
x=
x1+x2
2
y=
x1-x2
2
.
(2分)
|AB|=
4
5
5
,∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=
16
5
,∴(2y)2+(2x)2=
16
5

∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=
4
5
.(5分)
(方法二)∵2
OP
=
OA
+
OB
,∴P为线段AB的中点、(2分)
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上,∴∠AOB=90°.
|AB|=
4
5
5
,∴|OP|=
2
5
5
,∴点P在以原点为圆心,
2
5
5
为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=
4
5
.(5分)
(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
∵l与C相切,∴
|m|
1+k2
=
2
5
5
,∴m2=
4
5
(1+k2)

联立
y=kx+m
x2+4y2=4
,∴
(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0
(1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1•x2=
4m2-4
1+4k2
y1y2=
m2-4k2
1+4k2
.(8分)
OM
ON
=x1x2+y1y2=
5m2-4k2-4
1+4k2

m2=
4
5
(1+k2)
,∴
OM
ON
=0.(10分)
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=±
2
5
5
,代入椭圆方程得
M(
2
5
5
2
5
5
),N(
2
5
5
,-
2
5
5
)或M(-
2
5
5
2
5
5
),N(-
2
5
5
,-
2
5
5
),
此时,
OM
ON
=
4
5
-
4
5
=0.
综上所述,
OM
ON
为定值0.(12分)
点评:本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识.
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