Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+

2

与椭圆C交于A、B两点，求K的取值范围；
（3）若以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的半焦距为c，根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

，可求椭圆C的方程；
（2）将直线y=kx+

2

代入椭圆C的方程

x2

3

+y2=1，可得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，根据直线y=kx+

2

与椭圆C交于A、B两点，可得

1+3k2≠0 △=(6 2 k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

，从而可求k的取值范围．
（3）以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，则点O在圆外．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韦达定理，由此可求k的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题意
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
∴

c a = 6 3 a= 3

，∴c=

2

，∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）将直线y=kx+

2

代入椭圆C的方程

x2

3

+y2=1，可得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0
∵直线y=kx+

2

与椭圆C交于A、B两点
∴

1+3k2≠0 △=(6 2 k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

∴k2＞

1

3

∴k＞

3

3

或k＜-

3

3

；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵x1+x2=

-6 2 k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)
=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2
=(k2+1)×

3

1+3k2

+

2

k×

-6 2 k

1+3k2

+2=

5-3k2

1+3k2

＞0
∴5-3k²＞0
∵k2＞

1

3

∴

1

3

 ＜k2＜

5

3

∴

3

3

＜k＜

15

3

或

- 15

3

＜k＜-

3

3

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，转化为点O在圆外