【题目】已知椭圆的离心率为,且过点B(0,1).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点A是椭圆的右顶点,点在以AB为直径的圆上,延长PB交椭圆E于点Q,求的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由椭圆的离心率和b=1,结合基本量的关系,可得a,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)由A(2,0),又B(0,1),求得圆方程和设PQ的参数方程为(t为参数,α为锐角),分别代入圆方程和椭圆方程,可得|BP|,|BQ|,再由换元法和判别式法,解不等式可得最大值.
(Ⅰ)椭圆的离心率为,且过点B(0,1),可得b=1,,,解得a=2,,则椭圆E的方程为;
(Ⅱ)可得A(2,0),又B(0,1),可得以AB为直径的圆方程为,
设PQ的参数方程为(为参数,为锐角),
代入圆方程可得,
可得,
将直线的参数方程代入椭圆方程可得:
,
可得,
则,
设,设上式为,
即有,
,即为,
解得,
则的最大值为.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=1,AB=,BC=,AA1=.
(1)求证:A1B⊥B1C;
(2)求二面角A1—B1C—B的余弦值.
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【题目】若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )
A.﹣1
B.log2a+log2b+1
C.log2b
D.log2(a3+a2b+ab2+b3)
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【题目】某加工厂用某原料由车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
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【题目】已知某校5个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如下表:
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
数学 | 115 | 112 | 93 | 125 | 145 |
年级排名 | 250 | 300 | 450 | 70 | 10 |
(1)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用表示数学成绩,用表示年级排名,求与的回归方程;(其中都取整数)
(2)若在本次考试中,预计数学分数为120分的学生年级排名大概是多少?
参考数据和公式:,其中,,其中
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【题目】已知函数f(x)=1+x﹣ +…+ ,g(x)=1﹣x+ ﹣…﹣ ,设函数F(x)=f(x+4)g(x﹣5),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则b﹣a的最小值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数m的取值范围.
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