Question

设{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=a₂+4，设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，则数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=

2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：利用等差数列和等比数列的通项公式即可得到a_n，b_n．进而利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁=2，a₃=a₂+4，∴2q²=2q+4，化为q²-q-2=0，
∵q＞0，解得q=2．∴an=2×2n-1=2ⁿ．
∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=2¹+2²+…+2ⁿ+（1+3+…+2n-1）
=

2(2n-1)

2-1

+

n(1+2n-1)

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）
故答案为2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）．

点评：熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式是解题的关键．