Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：

x2

4

+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；
（I）设直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅱ）求线段MN长的最小值；
（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由

QM

•

QN

=0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：

x2

4

+y2=1可知，点A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），则由题设可知x₀≠0．
∴直线AP的斜率k1=

y0-1

x0

，PB的斜率为k2=

y0+1

x0

．
又点P在椭圆上，所以

x02

4

+y02=1(x0≠0)，从而有k1•k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

；
（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），
直线PB的方程为y-（-1）=k₂（x-0）．
由

y-1=k1x y=-2

，解得

x=- 3 k1 y=-2

；
由

y+1=k2x y=-2

，解得

x=- 1 k2 y=-2

．
∴直线AP与直线l的交点N（-

3

k1

，-2），直线PB与直线l的交点M（-

1

k2

，-2）．
∴|MN|=|

3

k1

-

1

k2

|，又k1•k2=-

1

4

．
∴|MN|=|

3

k1

+4k1|=

3

|k1|

+4|k1|≥2

3 |k1| •4|k1|

=4

3

．
等号成立的条件是

3

|k1|

=4|k1|，即k1=±

3

2

．
故线段MN长的最小值为4

3

．
（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点(0，-2+2

3

)或(0，-2-2

3

)．
事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则

QM

•

QN

=0，
故有(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0．
又k1•k2=-

1

4

．所以以MN为直径圆的方程为x2+(y+2)2-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令

x=0 x2+(y+2)2-12=0

，解得

x=0 y=-2+2 3

或

x=0 y=-2-2 3

．
所以以MN为直径的圆恒过定点(0，-2+2

3

)或(0，-2-2

3

)．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．