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【题目】如图,已知ACDE是直角梯形,且ED∥AC,平面ACDE⊥平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,AB=AC=AE=2, ,P是BC的中点. (Ⅰ)求证:DP∥平面EAB;
(Ⅱ)求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值.

【答案】(I)证明:取AB的中点F,连接PF,EF. 又∵P是BC的中点,∴
,ED∥AC,

∴四边形EFPD是平行四边形,
∴PD∥EF.
而EF平面EAB,PD平面EAB,
∴PD∥平面EAB.
(II)∵∠BAC=90°,平面ACDE⊥平面ABC,∴BA⊥平面ACDE.
以点A为坐标原点,直线AB为x轴,AC为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则z轴在平面EACD内.则A(0,0,),B(2,0,0),

设平面EBD的法向量 ,由 ,得
取z=2,则 ,y=0.∴
可取 作为平面ABC的一个法向量,
= = =
即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为

【解析】(I)取AB的中点F,连接PF,EF.利用三角形的中位线定理可得 .再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形,可得PD∥EF.利用线面平行的判定定理即可得出;(II)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.

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