Question

（2013•成都一模）已知函数f（x）=

x2-x+1，x∈[1，2] 2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)

（I）解关于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判断函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据分段函数分段处理的原则，可将不等式_：f（x）≤1化为

1≤x≤2 x2-x+1≤1

或

x＜1，或x＞2 2x-1≤1

，分别解答后，综合讨论结果，可得答案．
（II）由（I）中函数的解析式，可得1≤x≤2时，函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的解析式，利用导数法分析其单调性及极值，进而可由零点存在定理，判断出函数零点的个数．

解答：解：（I）∵函数f（x）=

x2-x+1，x∈[1，2] 2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)

∴不等式_：f（x）≤1可化为：

1≤x≤2 x2-x+1≤1

…①或

x＜1，或x＞2 2x-1≤1

…②，
解①得x=1，解②得x＜1
综上所述原不等式的解集为（-∞，1]
（II）当1≤x≤2时，函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3=2x³-7x²+8x-3
∴h′（x）=6x²-14x+8=（6x-8）（x-1）
当1＜x＜

4

3

时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当

4

3

＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
故当x=

4

3

时，h（x）取最小值-

1

27

又∵h（1）=0，h（2）=1＞0
故函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3在区间[1，2]上有2个零点

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，分段函数，其中（I）的关键是“分段函数分类讨论”，（II）的关键是求出函数h（x）的解析式．