Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+ ），
（1）判断并证明函数y=f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数y=f（x）在R上的单调性；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ln（x+ ）为奇函数．

要使函数有意义，则 ，

∵ ，

∴ 的解集为R，即函数f（x）的定义域为R，

又 ，

∴函数y=f（x）是奇函数

（2）解：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，

则 ，

∵0≤x1＜x2，

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴f（x1）＜f（x2）．

∴函数y=f（x）在[0，+∞）上为增函数，

又f（x）为奇函数，

∴函数y=f（x）在R上为增函数

（3）解：不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0等价于f（a4x）＞﹣f（2x+1）．

∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（a4x）＞f（﹣2x﹣1）．

函数y=f（x）在R上为增函数，

∴原不等式等价于a4x＞﹣2x﹣1，

即 在区间[1，2]上恒成立，

只需 ．

令 ，

由复合函数的单调性知， 在区间[1，2]上为增函数．

∴当x=2时， ．

即 ．

【解析】（1）求出函数的定义域，然后结合f（﹣x）=﹣f（x）可得函数的奇偶性；（2）直接利用函数单调性的定义证明；（3）把不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0转化为f（a4x）＞﹣f（2x+1），结合函数是奇函数得到 ，由复合函数的单调性求得 在区间[1，2]上的最大值，则答案可求．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．