Question

8．△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²（a²+b²），则角C的度数是45°或135°．

Answer 1

分析 把已知等式a⁴+b⁴+c⁴=2c²（a²+b²），通过完全平方式、拆分项转化为（a²+b²-c²+$\sqrt{2}$ab）（a²+b²-c²-$\sqrt{2}$ab）=0．分两种情况，根据余弦定理即可求得C的度数．

解答 解：∵a⁴+b⁴+c⁴=2c²（a²+b²），
∴（a²+b²）²-2c²（a²+b²）+c⁴-2a²b²=0，
∴（a²+b²-c²）²-2a²b²=0，
∴（a²+b²-c²+$\sqrt{2}$ab）（a²+b²-c²-$\sqrt{2}$ab）=0
∴a²+b²-c²+$\sqrt{2}$ab=0或a²+b²-c²-$\sqrt{2}$ab=0
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0°＜C＜180°，
∴C=45°或135°．
故答案为：45°或135°．

点评 本题考查了余弦定理以及因式分解的应用，解决本题的关键是将原式转化为（a²+b²-c²+$\sqrt{2}$ab）（a²+b²-c²-$\sqrt{2}$ab）=0，属于中档题．