Question

已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足

BM

=

MC

，点T（-1，1）在AC所在直线上且

AT

•

AB

=0．   
（1）求△ABC外接圆的方程；
（2）一动圆过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足

OP

•

OQ

＞6，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

AT

•

AB

=0，知AT⊥AB，从而直线AC的斜率为-3．所以AC边所在直线的方程为3x+y+2=0．由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得点A的坐标为（0，-2），由此能求出△ABC外接圆的方程．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

，半焦距c=2的双曲线的左支．由此能求出动圆圆心的轨迹方程．
（3）PQ直线方程为：y=kx-2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2-y2=2(x＜0) y=kx-2

得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
，由此能够得到k的取值范围．

解答：解：（1）∵

AT

•

AB

=0∴AT⊥AB，从而直线AC的斜率为-3．
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得点A的坐标为（0，-2），

∵ BM = MC ∴M(2，0)为Rt△ABC外接圆的圆心

又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
所以△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

，半焦距c=2的双曲线的左支．
从而动圆圆心的轨迹方程Γ为

x2

2

-

y2

2

=1(x＜0)．
（3）PQ直线方程为：y=kx-2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x2-y2=2(x＜0) y=kx-2

得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
∴

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-1 ＜0 x1x2= 6 k2-1 ＞0 OP • OQ =x1x2+y1y2= 2k2+2 k2-1 ＞6

解得：-

2

＜k＜-1
故k的取值范围为(-

2

，-1)

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．