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    设正三角形A1B1C1边长为a，分别取B1C1，C1A1，A1B1的中点A2，B2，C2，记a1是正三角形A1B1C1除去△A2B2C2后剩下的三个内切圆面积之和，依此类推：记an是△AnBnCn除去△An+1Bn+1Cn+1后剩下的三个三角形内切圆面积之和，从而得到数列{an}，设这个数列{an}的前n项和Sn．
    （1）求an 和a1；
    （2）求Sn，并证明Sn＜
    πα2
    12
    ．
    考点：数列的求和
    专题：等差数列与等比数列
    分析：（1）正三角形△A1B2C2的内切圆半径为r=
    1
    3
    		(
    1
    2
    a)2-(
    1
    4
    a)2
    ×
    1
    3
    =
    		3
    12
    a    ，从而a1=π×(
    		3
    12
    a)2×3    =
    9πa2
    144
    ，由△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是1：4，依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是1：4，从而求出an=
    9πa2
    144
    ×（
    1
    4
    ）n-1．
    （2）由Sn=a1+a2+a3+…+an=
    9πa2
    144
    [1+
    1
    4
    +(
    1
    4
    )2+…+(
    1
    4
    )n-1    ]，利用等比数列前n项和公式能求出Sn，并能证明Sn＜
    πα2
    12
    ．
    解答： 解：（1）∵正三角形△A1B2C2的边长为
    1
    2
    a    ，
    内切圆半径为r=
    1
    3
    		(
    1
    2
    a)2-(
    1
    4
    a)2
    ×
    1
    3
    =
    		3
    12
    a    ，
    ∴a1=π×(
    		3
    12
    a)2×3    =
    9πa2
    144
    ，
    ∵△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，
    则面积的比是1：4，∴a2=
    9πa2
    144
    ×
    1
    4
    ，
    ∵正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是1：4，∴a3=
    9πa2
    144
    ×（
    1
    4
    ）2，
    依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是1：4，
    ∴an=
    9πa2
    144
    ×（
    1
    4
    ）n-1．
    （2）Sn=a1+a2+a3+…+an
    =
    9πa2
    144
    [1+
    1
    4
    +(
    1
    4
    )2+…+(
    1
    4
    )n-1    ]
    =
    9πa2
    144
    ×
    1-(
    1
    4
    )n
    1-
    1
    4

    =
    πa2
    12
    （1-
    1
    4n
    ）．
    ∵1-
    1
    4n
    ＜1，∴Sn＜
    πα2
    12
    ．
    点评：本题考查数列的首项和通项公式的求法，考查前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用．
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    3
    4
    ，2）
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    1
    4
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    1
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    1
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    5
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    π
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    xx1
    π
    6
    		x2
    2π
    3
    		x3
    ωx+ϕ0
    π
    2
    		π
    3π
    2
    		2π
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    2
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    2
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    AM
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    ．

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    1
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    2
    3
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    x2
    2
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    13
    20
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