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(Ⅰ)已知函数

(i)求函数的单调区间;

(ii)证明:若对于任意非零实数,曲线C与其在点处的切线交于另一点

,曲线C与其在点处的切线交于另一点,线段

(Ⅱ)对于一般的三次函数(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明。

 

 

【答案】

 

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

【解析】(Ⅰ)(i)由=

时,

时,

因此,的单调递增区间为,单调递减区间为

(ii)曲线C与其在点处的切线方程为

,解得,进而有

,用代替,重复上述计算过程,可得

,又,所以

因此有

(Ⅱ)记函数的图象为曲线,类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为:若对任意不等式的实数,曲线与其在点处的切线交于另一点

,曲线C与其在点处的切线交于另一点,线段

证明如下:

因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线的对称中心平移至坐标原点,因而不妨设,类似(i)(ii)的计算可得

 

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已知函数f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6,在x=1时有极小值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

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3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3
,且f(
π
24
)=0

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24
π
24
)
,求θ的值.

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已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点(
11π
6
,-1)

(Ⅰ)如果x=0时,y=-
3
2
,求a,b,c.
(Ⅱ)如果将图象上每个点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的
3
π
,然后将所得图象向左平移一个单位得到y=f(x)的图象,并且方程f(x)=3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列,求y=f(x)的解析式.

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已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1
(Ⅱ)若x1=4,记an=lg
xn+2xn-2
,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.

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π
2
)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(  )
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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