Question

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|

OM

|=

5

，

ON

=

2 5

5

OM

．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），进而可知点M₁的坐标，进而根据

ON

=

2 5

5

OM

表示出点N的坐标和N₁的坐标，进而表示出

M1M

和

N1N

，进而代入

OT

=

M1M

+

N1N

求得x和x'的关系，y和y'的关系，代入|

OM

|中求得x和y的关系，曲线C的方程可得，判断出曲线C是椭圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5），直线方程与椭圆方程联立消去y根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x₀，y₀），进而根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|推断BR⊥l，进而可知k•k_BR=-1，进而建立等式整理得20k²=20k²-4，结论不可能成立，进而判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

解答：解：（Ⅰ）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M₁的坐标为（0，y'），

ON

=

2 5

5

OM

=

2 5

5

(x′，y′)，于是点N的坐标为(

2 5

5

x′，

2 5

5

y′)，N₁的坐标
为(

2 5

5

x′，0)，所以

M1M

=(x′，0)，

N1N

=(0，

2 5

5

y′).
由

OT

=

M1M

+

N1N

，有(x，y)=(x′，0)+(0，

2 5

5

y′)，所以

x=x′ y= 2 5 5 y′.

由此得x′=x，y′=

5

2

y.
由|

OM

|=

5

，有x′2+y′2=5，所以x2+(

5

2

y)2=5，得

x2

5

+

y2

4

=1，
即所求的方程表示的曲线C是椭圆．
（Ⅱ）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5）．
由方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

得(5k2+4)x2-50k2x+125k2-20=0.
依题意△=20(16-80k2)＞0，得-

5

5

＜k＜

5

5

.
当-

5

5

＜k＜

5

5

时，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x₀，y₀），
则x1+x2=

50k2

5k2+4

，x0=

x1+x2

2

=

25k2

5k2+4

.∴y0=k(x0-5)=k(

25k2

5k2+4

-5)=

-20k

5k2+4

.
又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k•k_BR=-1，
k•kBR=k•

20k 5k2+4

1- 25k2 5k2+4

=

20k2

4-20k2

=-1?20k2=20k2-4，
而20k²=20k²-4不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．当涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线的方程联立，借助韦达定理求得答案．