Question

【题目】设圆 的圆心为F1 ， 直线l过点F2（2，0）且不与x轴、y轴垂直，且与圆F1于C，D两点，过F2作F1C的平行线交直线F1D于点E，
（1）证明||EF1|﹣|EF2||为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线Γ，直线l交Γ于M，N两点，过F2且与l垂直的直线与圆F1交于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：圆 ，圆心F1（﹣2，0），半径r=2，如图所示．

因为F1C∥EF2，所以∠F1CD=∠EF2D．

又因为F1D=F1C，所以∠F1CD=∠F1DC，

所以∠EF2D=∠F1DC，

又因为∠F1DC=∠EDF2，所以∠EF2D=∠EDF2，

故ED=EF2，可得||EF1|﹣|EF2||=||EF1|﹣|ED||=|F1D|=2＜|F1F2|，

根据双曲线的定义，可知点E的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线（顶点除外），

且a=1，c=2，b= = ，

故点E的轨迹方程为

（2）解： ．

依题意可设l：x=my+2（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），

由于PQ⊥l，设lPQ：y=﹣m（x﹣2）．

圆心F1（﹣2，0）到直线PQ的距离 ，

所以 ，

又因为d＜2，解得 ．

联立直线l与双曲线Γ的方程 ，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，

则 ，

所以 ，

记△PQM，△PQN的面积分别为S1，S2，

则 ，

又因为 ，所以S1+S2∈（12，+∞），

所以S1+S2的取值范围为（12，+∞）

【解析】（1）求得圆F1的圆心和半径，运用平行线的性质和等腰三角形的性质，可得ED=EF2，再由双曲线的定义，即可得到所求定值和双曲线的方程；（2）设出l：x=my+2（m≠0），lPQ：y=﹣m（x﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），求出圆心到直线PQ的距离，运用弦长公式可得|PQ|；再由直线l的方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，再由三角形的面积公式可得△PQM与△PQN的面积之和为 |MN||PQ|，化简整理，结合不等式的性质，即可得到所求范围．